（本文在2016年西湖区教育教学论文评比中获二等奖）

作者：张小乐

目  录

一、提出问题……………………………………………………………2

（一）从一个教学案例谈起………………………………………2

（二）教学误区分析………………………………………………3

二、研究基础例题，发现动圆妙用……………………………………4

（一）移动打开，化“折”为“展”……………………………5

（二）发现动圆中的定点…………………………………………5

三、应用动圆解决三类两线段和最短问题实例探讨…………………8

（一）应用动圆解决“轴对称”问题……………………………8

（二）应用动圆解决“全等”问题………………………………9

（三）应用动圆解决“平行四边形”问题……………………11

四、应用动圆解决两线段和最短问题的基本方法…………………12

（一）建立化“折”为“展”的意识……………………………12

（二）选准圆心半径构造动圆……………………………………13

（三）探索动圆组中的定点………………………………………13

五、应用动圆解决两线段和最短问题的利弊分析…………………13

（一）应用动圆解决两线段和最短问题的短处………………13

（二）应用动圆解决两线段和最短问题的长处………………13

参考文献………………………………………………………………14

借助动圆，化“折”为“展”

——探究两线段和最短问题

摘要：由一道中考真题引发笔者对“两线段和最短问题”的研究，从最基本，最常见的例题入手，发现构造“动圆”的方法可以解决该类绝大多数题目，是行之有效的一种“通法”.并通过应用构造“动圆”解决“轴对称”、“全等”、“平行四边形”三类问题的实例展开说明. 并总结出应用构造“动圆”解决两线段和最短问题的方法和技巧，首先需解题者建立化“折”为“展”的意识，能够准确选取圆心和半径构造动圆，其中圆心和半径均会发生改变，最后找到动圆组中的定点，从而解决问题.或者能更进一步，在构造“动圆”的启发下发现更具有技巧性的解法.

关键词：动圆   线段和   最短

一、提出问题

（一）从一个教学案例谈起

想要探究两线段和最短问题源于初三复习时遇到的一道中考真题，此题出自2015年天津数学中考卷，第18题，值3分，是填空题的压轴题.原题如下：

例1：如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C，D均在格点上，点E，F分别为线段BC，DB上的动点，且BE=DF.

（Ⅰ）如图①，当BE=时，计算AE+AF的值等于______________；

（Ⅱ）当AE+AF取得最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AE，AF，并简要说明点E和点F的位置是如何找到的（不要求证明）.

                   图①                     图②

1.学生反馈

此题的第一小问对于基础扎实的学生来说，并不难解决,而第二小问难倒了几乎所有的学生，学生反馈的信息主要有以下四种：

①完全没有思路，不会做；

②以BC为对称轴作A的对称点A’，以AD为对称轴作F的对称点F’，连结A’F’，与CB的焦点记为点E，与BD的交点记为F；

③以BD为对称轴作点A的对称点A’，以AD为对称轴作E的对称点E’，连结A’E’，与CB的焦点记为点E，与BD的交点记为F；

④我知道要作轴对称，但是不知道该如何做，试来试去感觉都不对劲.

2.教师反馈

不仅学生反馈思路卡在“如何构造轴对称”，教师在解决该问题时也遇到相同困境.笔者在试图解决该问题时，首先也习惯先尝试利用“轴对称”的方法，但是遇到困难，思路中断，而后想到构造全等三角形解题.

（二）教学误区分析

由此可见，无论是学生还是教师，脑海里都有一个根深蒂固的认知：两线段和最短问题要采用轴对称的方法来解决.对于教师来说，解题经验丰富，在经过深入思考发现此路不通时能及时寻找另外的解题方法.但对于绝大多数学生来说，一旦“轴对称”的路走不通了，他们就束手无策了.

学生产生这样错误的思维定式，仔细想想，这并不是学生的错误.细细回想，但凡遇到“两线段和最短问题”的题目，几乎清一色是通过构造“轴对称”来解决的，比如教学中肯定要遇到的“饮马问题”、“抛物线对称轴上的动点问题”等.

笔者学习阅读了大量有关初中阶段探讨“线段和最短”的论文，发现拿出来的例题几乎都逃不开三类问题：

1.使用“轴对称”构造线段和最短；

2.利用“垂线段最短”构造线段和最短；

3.建立二次函数，通过计算最值找到线段和的最短值.

笔者还上网进入“百度搜索”，以“初中”，“线段和最短”为搜索关键词，得到的教案、学案、PPT中，例题几乎清一色使用“轴对称”的例题.所以，即使教师在教学中不会说“两线段和最短问题”就是用“轴对称”，更多地会引导学生构造三角形，利用“三角形两边和大于第三边”或“两点间线段最短”等知识点来解释原理，解决问题，但是因为例题类型的局限性，使得这样错误的观点日积月累地深深打入了学生的认识.

二、研究基础例题，发现动圆妙用

面对这样的现状，笔者尝试从最基本，最常见的例题入手，想寻找一种“通法”，这种“通法”能解决各种类型的“两线段和最短问题”的.在反复尝试之后，笔者发现大量的研究“两线段和最短问题”的问题都可以通过构造“动圆”的方法来解决.

例2：如图2—1，点A、B为两工厂在河边建供水站，在哪建供水站铺设管道最短？

图2—1

解析：该问题可以说是“两线段和最短问题”中最基本的题型，基础扎实的学生一眼可以看出解题方法.

如图2—2，以直线l为对称轴作点A（或点B）的对称点A’（或点B’），连结A’B（或B’A），与直线l交于点P，点P就是题中要求的供水站的位置.作图如下：

图2—2

（一）移动打开，化“折”为“展”

在例2中，如果进一步追问学生，为什么要以直线l为对称轴作点A的对称点A’？弄清楚这个问题，有助于进一步理解此类问题.

图2—3

如图2—3，这样做的原因是构造线段A’P，使得无论P点如何运动，始终保持A’P=AP，此时线段A’P代替原线段AP与线段BP想加.显然，根据公理“两点之间线段最短”，只需要把点P运动到与A’、B三点共线即可.也就是说，解决“两条线段和最短问题”应用的最核心的原理是公理“两点之间线段最短”.

如图2—3，发现无论点P如何运动，都不可能形成点A、P、B三点共线的图形.但是如果把线段“移”到直线l的另一侧，如图中的线段A’P，则可以实现点A’、P、B三点共线，从而应用公理解决问题.正是因为需要应用公理“两点之间线段最短”，就必须保证“三点共线”，所以动点必须位于线段的两个端点之间，由此必须把两条线段置于动点所在直线的两侧，把两条线段的位置关系由原来的“折”在一起改变成“舒展”于动点所在直线两侧的图形.

综上所述，要解决“两线段和最短问题”的问题，首要问题就是要把两条线段中的一条线段“移动”，使得两条线段交与动点，且位于动点所在直线的两侧，实现两条线段“舒展开来”，最后应用公理“两点之间线段最短”把两条线段拉直，得到最短的情况.

（二）发现动圆中的定点

上文提到，要解决“两条线段和最短问题”，需要一个舒展的图形，以例2为例，这个图形需要满足以下两个条件：

1.无论动点P如何运动，始终保持PA’=PA；

2.A’与题中另一个点B分列动点P所在直线l的两侧.

要满足这两个条件，笔者尝试以P为圆心，PA为半径构造圆

图2—4

利用几何画板作图，如图2—4，以动点P为圆心，PA为半径构造圆形，当点P移动的时候，形成了一组圆心和半径都在变化的圆，即图中绿色的轨迹.绿色轨迹上的每一个点都可以记作A’，满足到圆心P（注意，点P的位置也是变化的）的距离等于线段PA的长度，这就满足了上述第1个条件：无论动点P如何运动，始终保持PA’=PA.

为了保证前文提到的“舒展”的形状，显然只考虑直线l下半部分的绿色痕迹，也就是满足第2个条件：A’与题中另一个点B分列动点P所在直线l的两侧.

最后，可以从图形中清楚看到在本题条件中，动圆P始终经过一个定点A’.同时惊喜地发现这个定点A’就是前文用轴对称的方法找到的那个点.

既然能够用轴对称的方式很快找到点A’，为什么还要用一组比较复杂的动圆来阐述？笔者认为这样构造“动圆”的方法切中了此类题目的要害，无论题目如何千变万化，都可以有效地找到答案，也为寻找另外的方法提供思路.例如可以采用同样构造动圆的方法解决例1，为了阐述方便，此处对例1略作修改.

例3：如图3—1，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C，D均在格点上，点E，F分别为线段BC，DB上的动点，且BE=DF.当AE+AF取得最小值时，请在如图②所示的网格中，找到点E和点F的位置.

图3—1

解析：因为点E和点F都是动点，且保持BE=DF，所以只要找到点E的位置，使得AE+AF取得最小值那么点F的位置也被唯一确定了.同时，目前来看线段AE和AF呈现一种折在一起的状态，所以尝试考虑移动线段AF，使得AE和AF呈现“舒展”状态.如果移动线段AF，即不改变线段AE的大致位置，那么题目中的动点就是点E，为了满足“分列动点所在直线两侧”的要求，需要把线段AF搬到BC的右侧.

确定了线段AF的大概位置后，如前文所述的方法，以动点E为圆心，AF为半径作圆.当点E运动时，圆心和半径都回相应发生变化，得到一组动圆，追踪动圆的轨迹，得到如图3—2.由图像可以看到，当点E运动时，动圆E始终经过定点G，连结AG与CB的交点就是题目中需要求得点E，AF+AE的最短值就是线段AG的长度. 至此本题需要找到的点E的位置已经得到，根据BE=DF，可在线段DB上截取DF=BE，可以得到点F的位置.

           图3—2                          图3—3

当然，也可以选择移动线段AE，那么题中的动点就是点F，为了满足“分列动点所在直线两侧”的要求，需要把线段AE搬到动点F所在直线，即直线BD的上方.如图3—3，以F为圆心，AE为半径构造动圆，追踪动圆的轨迹，明显找到定点H，连结AH与BD的交点就是题中要求的点F.

综上所述，以动点为圆心，需要移动的线段的长度为半径构造一组圆心，半径都会发生变化的动圆.若两条线段和最短的情况存在，那么这组动圆上必能找到一个定点，满足两条线段和最短.

三、应用动圆解决三类两线段和最短问题实例探讨

（一）应用动圆解决“轴对称”问题

例4（自编题）：已知，如图4—1，四边形ABCD是矩形，点E、F、P分别在边BC、BA、CD上.若点E、F为定点，点P为动点，点P在何处时满足PE+PF最短？

图4—1

解析：因为P为动点，线段PF和PE形状是处于折合在一起的现状，故考虑保留PF的大致位置，移动PE，使得PE、PF分别位于动点P所在直线DC的两侧.如图4—2，以P为圆心，PE为半径构造动圆，观察得定点E’，连结F、E’，与DC的交点P’为所求点.

                图4—2                      图4—3

利用构造动圆发现，此题可以简单地构造轴对称，如图4—3，以DC为对称轴作点E的对称点E’，连结F、E’，与DC的交点P’为所求点.

此类题目众多，构造轴对称是找到符合要求的定点的一种常见的方法，对于熟练掌握的学生来说没有必要应用构造“动圆”这样复杂的过程来解题.

（二）应用动圆解决“全等”问题

例5（自编题）：已知，如图5—1，四边形ABCD是矩形，点E、F、P分别在边BC、BA、CD上.若点P为DC中点，点E、F为动点，且满足AF=CE，点E、F在何处时满足PE+PF最短？

图5—1

解析：因为E、F为动点，线段PF和PE形状是处于折合在一起的现状，故考虑保留PF的大致位置，移动PE，使得PE、PF分别位于动点F所在直线AB的两侧.如图5—2，以F为圆心，PE为半径构造动圆，观察得定点H，连结HP，与AB的交点F’为所求点.由于AF=CE，故在BC上截得CE’=AF’，得到题目要求的点E’的位置.

                 图5—2                     图5—3

利用构造动圆发现，此题可以通过构造全等三角形解答.如图5—3，仔细观察图形，在△PEC中，CE=AF，故CE可以看作已知线段，线段PC和∠PCE=Rt∠均为定值，这就构架起了SAS全等的可能性.绘制射线DA，使得∠BAH=∠PCE=Rt∠，在AH上截取AH=PC，这就构造出了△PEC≌△HFA，发现无论点E和点F如何运动，这两个三角形始终保持全等，也就找到了定点H.连结HP，与AB的交点F’为所求点.由于AF=CE，故在BC上截得CE’=AF’，得到题目要求的点E’的位置.

构造全等三角形是移动线段的一种方法.一般情况下，相等的线段不是直接移动得到的，但可以通过构造全等后证明得到的.前文提到的2015年天津中考真题也是采用构造全等的方法来解题.

如图3—4，有了构造定圆提供的思路，可以开始构造全等三角形了.仔细观察图形，发现△DFA中，DF=BE，DA和∠FDA是定值，这三个条件就构架起了SAS全等的模样，所以可以绘制射线BH，使得∠CBH=∠FDA，在BH上截取BG=DA，这就构造出了△BEG≌△DFA，发现无论点E和点F如何运动，这两个三角形始终保持全等，也就找到了定点G.

          图3—4                        图3—5

在2015年天津中考真题中，题目条件中提出使用“用无刻度的直尺”，这就使得我们不能使用用圆规截取的手段，故需利用题中网格，如图3—5，从C点出发往右数三格记为点H，连结HB，可以由网格的性质得到∠CBH=∠CBD=∠FDA，此时根据勾股定理易得BH=5，利用相似的原理，H往下数一格得到点K，连结CK，与BH交于点G，根据△CBG∽△KHG，可得BG=DA=4，连结EG，可得△BEG≌△DFA，保证EG=AF.

可见，同理，如图图3—6，充分利用网格构造出∠HDF=Rt∠，DH=AB=3，最后构造得到△DFH≌△BEA，证得FH=AE，连结AH，与BD的交点即为所求点.

图3—6

（三）应用动圆解决“平行四边形”问题

例6：已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（-4，0），B（1，0），C（0，4），点P是该抛物线对称轴上的动点.

①求二次函数的解析式；

②连结PA，PB，CB，求△PCB周长最短时点P的坐标；

③若点Q是对称轴上另一个动点，且保持在点P下方，PQ=2，求四边形CPQB的周长最短时点P的坐标.

解析：①利用待定系数法可得y=-x²-3x+4，其中对称轴为直线x=.

②如图6—1，△PCB的周长中线段CB为定值，周长最短就是PC+PB最短，利用轴对称，很快得到PC+PB=PC+PA，所以连结AC与对称轴的交点P’就是本题要求的点.计算得直线AC的解析式为y=x+4，解得P’（，）.此题学生能熟练掌握，此处不具体展开.

图6—1

③四边形CPQB的周长由线段CP，PQ，QB，BC组成，其中BC，PQ为定值，周长最短就是PC+QB最短，但是图中明显PC，BQ位于对称轴的同侧，根据前文所述需要舒展打开，故考虑保留PC的大致位置，移动BQ，使得PC、BQ分别位于动点P、Q所在对称轴的两侧.如图6—2，以P为圆心，BQ为半径构造动圆，观察得定点F，连结CF，与对称轴的交点P’为所求点.

           图6—2                        图6—3

现在的问题是如何找到点F呢？观察发现，PF=BQ，同时利用抛物线的对称性，BQ=QA，即PF=QA，根据观察得到的猜想四边形AQPF是平行四边形.故把点A往上移动2个单位得到点F，连结PF，QA，得到平行四边形AQPF，此时无论点P，Q如何移动，始终有PF=BQ.连结CF，与对称轴的交点P’为所求点.计算得F（-4，2），直线FC的解析式为，解得P’（，）.

综上所述，构造“动圆”的方法适合绝大多数研究“两线段和最短”的问题，我们可以通过构造动圆找到一个定点，这个定点就是满足“两线段和最短”的特殊位置.通过这个定点，可以启发思路，比如进一步利用“轴对称”、“构造全等”等方法解题.

四、应用动圆解决两线段和最短问题的基本方法

（一）建立化“折”为“展”的意识

前文已有阐述，解决“两线段和最短问题”的核心依据是“两点之间线段最短”，故需要把两条线段放置在位置舒展的形状，才有利于解题.所以无论题目如何变化，需要帮助学生建立化“折”为“展”的意识，不然无法进一步解决该类问题.

（二）选准圆心半径构造动圆

构造动圆就是为了把两条线段中的一条进行位置移动，在保证线段长度不变的前提下让两条线段呈现“舒展”状态.所以一般情况下，我们移动其中一条线段，并以不移动的那条线段上的动点为圆心，移动线段的长度为半径构造圆.当动点移动时，圆心和半径都会发生连锁变化，所以得到不是一个圆，而是一组圆心半径都发生变化的动圆.

（三）探索动圆组中的定点

如果两条线段和最短的情况存在，那么这组动圆上必能找到两个定点，其中一个定点位于动点所在直线的另一侧，这个定点就是我们要找到特殊位置.

五、应用动圆解决两线段和最短问题的利弊分析

（一）应用动圆解决两线段和最短问题的短处

1.如例6这样需要计算得问题用构造“动圆”的方法不容易计算，构造“动圆”的方法在初中阶段仅适合寻找位置，不能给进一步计算带来充足有用的信息.

2.构造“动圆”解决“两线段和最短问题”方法单一机械，缺少对题目“个性”的解读，使得解法千遍一律.

（二）应用动圆解决两线段和最短问题的长处

1.相比用“轴对称”的几乎固定僵化的想法解决两线段和最短问题这样相对狭隘的想法，笔者认为应用动圆解决该类问题更具有普遍性.如前文涉及，以往应用构造轴对称，构造全等，构造平行四边形等问题均可以采用构造“动圆”的方法找到两线段和最短的位置，是直击本类问题要害的“通法”.

2.虽然前面提到构造“动圆”解决“两线段和最短问题”方法单一，但是对于有一定难度，图形比较复杂的问题，由“动圆”得到的图形可以帮助解题者进一步探索其它的解题方法，使得解法更具有技巧性.

参考文献

【1】2015年天津市数学中考试卷及答案详细解析.

【2】2016年杭州市初中毕业升学文化考试命题实施细则.

【3】曾晖；例谈线段和的最小值问题的解法[J]；新校园（中旬刊）；2015年第6期.

【4】高尚军；新课改下中考数学“最短问题”的模型及应对策略[J]；考试周刊；2016年第25期.

【5】徐亚飞；抽丝剥茧化繁为简———最短问题中的线段转化[J]；中学生数理化·学研版；2015年第9期.

【6】陈学瑞；用类比法解轴对称中最短路线问题[J]；数理化学习（初中版）；2015年第4期.