小学生应用题解题能力的非数学因素分析（2012评比）

编号：10组别：数学组

小学生应用题解题能力的非数学因素分析

摘要：应用题既是小学数学教学的重点和难点，也是促进小学生思维能力发展的一种重要手段。与此相关的多种非数学因素,如生活经验、自然与社会知识、语文知识、观察与思维等综合素质应当成为广大小学数学教师值得特别关注和认真实践的课题。本文就是针对影响小学生应用题解题能力的非数学因素的研究分析。其意义在于：通过对影响小学生应用题解题能力的非数学因素分析以便更好地来指导我们，改进小学数学教法和学法，提高解答数学应用题的教学质量。

关键词：应用题解题能力非数学因素

一、数学能力研究的两种倾向

长期以来，人们都非常重视对数学能力结构的研究，认为这样的研究有助于深入了解数学能力的实质，直接影响着数学能力的定义、数学能力的测量、数学能力的发展与培养等一系列重大问题的解决。因此，“大多数研究者对能力的研究都归结到结构的分析上”[1]，以此作为能力研究的突破口。总的看来，国内外关于数学能力结构的研究，主要有两种倾向：即以活动分析法为主的定性研究和以因素分析法为主的定量研究。

（一）以活动分析为主的定性研究

这方面的研究主要是根据对与数学能力有关的活动的分析，提出数学能力结构的假设，然后按照所设想的能力结构因素设计相应的测验作业，让能力不同的被试个别完成，并对他们的完成过程进行定性分析。“如果能力强的被试所具有的那些心理特征，正好是能力差的被试所不具备的，那么，这些心理特征必将在能力结构中起重要作用”[1]。这样便可以检验原先假定的能力结构各因素是否符合实际，最后确定出真正的能力结构。

活动分析研究最有影响的是前苏联心理学家克鲁捷茨基对中小学生数学能力结构的研究，他前后花了12年(1955-1966)时间，从理论和实验上对中小学生数学能力结构进行“严格的心理学研究”[1]，将中小学生的数学能力概括为以下几个方面：概括数学材料的能力；能使数学材料形式化，并用形式的结构即关系和联系的结构来进行运算的能力；能用数字和符号来进行运算的能力；连续而有节奏的逻辑推理能力；能用简缩的思维结构来进行思维的能力；能逆转心理过程，从正向的思维系列转向逆向的思维系列的能力；思维的机动灵活性，即从一种心理运算过渡到另一种心理运算的能力；数学记忆能力；能形成空间概念的能力。认为这些就是学习优秀学生具有而学习困难学生比较缺乏的能力成分。

北京师范大学林祟德教授主持过一个国家教委重点科研项目“中小学生能力发展和培养”教改实验研究课题。作为其成果，他提出了一个“小学生数学能力的结构”认为数学能力是以数学概括能力为基础，将三种能力(运算能力、空间想象能力和逻辑推理能力)与五种思维品质(思维的深刻性、思维的灵活性、思维的独创性、思维的批判性和思维的敏捷性)交互组成的统一整体。中小学生的数学能力应看作是以概括能力为基础，将三种数学能力与五种思维品质组成15个交叉结点的开放式动态系统[2]。也就是说应该把三种能力与五种思维品质看成一个系统，它们之间的关系不是并列关系，而是一种交叉关系，每个交叉点上还有许多小的能力成分。该项研究特别强调了数学概括的重要性，认为概括能力是一切数学能力的基础，并将概括能力又区分为以下几个方而：第一，对数学概念和数学规律的概括；第二，把概括的东西具体化；第三，在现有概括的基础上进行更广泛、更高层次的概括；第四，在概括的基础上把数学知识系统化，这是概括的高级阶段。

有的研究者还专门针对数学应用解题能力提出自己的见解。其中，G·Polya提出的“怎样解题表”是最具有形响力的一个。他把数学问题解决过程划分为明确问题、拟定计划、实现计划、回顾四个阶段，每个阶段上还设计了一些指导解题的小问题，学生对这些问题的回答，将有助于应用题的顺利解决[3]。R·E·Mayer等人也将数学应用题解题过程划分为四个认知过程：把应用题中的每一句文字表述转换成心理表征的转化(translation)过程；把对各个句子所转化成的心理表征综合成一个统一的问题表征的综合(integration)过程；制定和调整解答计划的计划(planning)过程；将解答计划付诸实现的执行(execution)过程。针对每一阶段，R·E·Mayer等人同样也设计一些问题训练学生，以期提高学生的应用题解题能力[4]。张庆林教授在总结国内外研究成果的基础上，结合自己的研究成果提出了解答数学应用题过程三阶段的构想，即表征问题、解答问题和思路总结，并相应地提出了七条解题思维策略，以帮助学来提高解答应用题的能力。

（二）以因素分析为主的定量研究

自从英国心理学家C·Spearman在1904年首先用自己创立的因素分析法对能力结构作了研究以后，因素分析方法就成为了西方心理学家研究能力结构的主要研究方法。因素分析(即因子分析)是处理多变量数据的一种数学方法，它是从为数众多的可观测变量中概括和推理出少数重点“因素”，从而建立起最基本、最简洁的概念系统，揭示出变量间的最本质联系的一种统计处理方法[5]。正因为如此，西方心理学家坚定地认为，为了对能力结构作出科学的分析，运用因素分析法是完全必要的。R·B·Cattail也曾指出：在今天，一个心理学家如果不至少掌握相关与因素分析的思想，他就不可能希望理解错综复杂的能力结构[6]。

运用因素分析方法来研究数学能力结构的一个重要人物是瑞典的心理学家I·Werdelin，他于1958年用英文发表了《数学能力》一书，得到了很高的评价。“无论从哪一个方面来看，这本书都称得上是国际心理学中现代能力研究学派的代表”。他的基本计划是以智力的多因素理论作为基础来分析中小学生的数学能力结构，并根据这个智力理论编制了36种测验，对217名13-17岁的学生进行测试，最后分析出下面一些基本因素：一般因素G(主要是指智力因素)；数因素N(对数概念的理解和运用)；空间因素S(对空间形式的理解、想象和抽豁；语一言因素Y(用语言表达数学关系)；推理因素R(运用逻辑思维、形象思维和直觉思维进行分析)[7]。

国内学者也开始运用因素分析法来研究中小学生的数学能力。王权等人用因素分析的方法，研究了使用部编五年制小学数学教材的学生的数学能力的发展状况。测量变量是根据教学大纲规定的基本要求选择的，包括：口算、数概念、笔算、速算、应用题I、应用题II、几何I、几何II、代数I、代数II、计量。其中应用题II是课本中未出现过的类型，但知识类型没有超出教学大纲和教材。结果表明，小学生要理解和掌握部编五年制小学数学教材规定的内容，需要具备的数学能力主要是：演绎推理能力；识别关系和模式的能力；空间想象能力；速度能力[8]。

美国、中国和日本等许多国家都将问题解决能力的培养作为中小学数学教育的重要目标之一。问题解决似乎成了国际数学教育界的一大趋势。甚至有的学者认为有关数学问题解决的研究“它不是一时一地的权宜之计，而是历史的必然，符合时代潮流的明智之举(MichaelD.Byrne)。”而数学应用题是数学教育中的重点，又是数学教育中的难点。无论是国外的教育还是国内的教育都发现，很多学生存在不同程度的解决应用题的困难。因此国内外学者也一直认为数学应用题研究是数学问题解决研究的中心课题。十余年来，针对应用题解决这一课题，许多数学教育家、心理学家进行了大量的研究，发表了大量的研究文章、专著和文集。从中，我们不难看出，目前国外对应用题解决的研究已不仅仅停留在解题策略的研究上了，而是更深入地去探讨应用题解决的内在机制，以及与解题策略有关的因素及策略的适用性上。特别是对应用题解决内在机制的研究主要集中于揭示解题过程中涉及到哪些认知和元认知能力。在解题策略的探讨上更加深入地研究了影响解题策略的因素，除了对传统的因素的进一步验证之外，还提出了许多新的假设。并进行了检验。最近也有一些学者探讨了工作记忆和应用题问题解决之间的关系，这些都是对传统研究领域的继承和发展。

在应用题解决研究方法和手段上的进步更是有目共睹的。通过对大量的有关问题解决以及数学问题解决策略及其训练的研究文献的阅读和分析，我们发现对于小学生数学问题解决策略的研究虽然取得了许多成果，并且有些已经得到了实践的检验，但是在这方面的研究也存在一定的问题：(1)理论与实践相脱离。在这些研究中有些是第一线的数学教师的研究成果，有些是心理学理论工作者的研究成果，这两方面的研究结论不尽相同。对于同一方面的问题，不同的研究者选取的被试、题目类型、研究手段都不尽相同，因此很难得出一致的结论。这造成了许多研究结论互不一致，甚至出现互相矛盾的结论。(2)对于问题解决策略的教学和训练的研究表明，有些教学和训练并不能提高小学生的问题解决能力和解题成绩。

二、小学生应用题解题能力的非数学因素

目前，国内外关于数学能力结构的研究较多，而关于解答数学应用题能力结构的研究就比较少。应用题教学，是小学数学教学的重点、难点之一，也是促进小学生思维能力发展的一种重要手段。学生应用题解答能力的培养，包括两个方面。一是解答能力，包括审题、析题、列式、计算等技巧；一是与此相关的多种因素，如生活经验、自然与社会知识、语文知识、观察与思维等综合素质。然而针对非数学能力的相关因素的研究目前基本是空白的。

小学数学应用题解答，是一个由简单数学概念向生活应用方面转化、较为复杂的数学解答运算过程。在这个过程中，学生往往因缺乏生活经验，对自然常识缺乏了解，或对语文知识掌握不深，或关于小学生解答应用题障碍的心理问题等非数学因素，在解题时概念模糊，数量关系不清而导致解题失误。

（一）关于生活经验　

数学应用题基本上都是从生活实际出发而命题的。如习题中常遇到“压路机滚一周能压多少路面”、“油漆庙里的大柱要多少千克油漆”、“游泳池占地面积多少”等等。由于小学生年龄小，缺乏生活经验，也缺少对周围的环境和对事物的认识。因此，往往找不到解题步骤，无从下手，或者在列式中因概念模糊、数量关系不清而导致差错。　　

例如计算游泳池占地面积时，很多学生往往强调事物的因素而忽视面积计算公式的不变性，造成思维理解错误，将游泳池的面积计算成五个表面积的和。即学生给出了面积＝长×宽＋长×深度×2＋宽×深度×2，而正确的应该是面积＝长×宽。

又如计算油漆庙里的大柱子要多少千克油漆时，一个班中几乎有半数的学生做错。他们因缺乏生活经验和对事物的理解能力，错误地将不能油漆的两个底面积也计算在内。针对这些问题，教师必须引导学生多留心观察周围事物，积累生活经验，才能准确地理解题意。同时，在指导学生解这类题时，首先要给学生作出演示或提示，以弥补学生生活经验的不足。

在教学中，教师要注意开拓学生视野，经常有意识地引导学生观察物体的形状、性质，了解事物的变化和相互间的联系，认清变化规律等。同时要把试题的条件要求和实际事物及条件有机地联系起来解答，才能得出正确的答案。另外，还要加强学生课内和课外的结合，培养学生认真观察事物的习惯，多在生活中积累经验。教师在备课和板书设计中，应配合教材练习设计一些类似的题目，以丰富学生各方面的知识，提高学生解答应用题的能力。

（二）关于自然常识

教学数学应用题时，还要根据小学生缺乏自然科学常识的特点，应结合习题讲解提示有关的自然常识，帮助学生加以认识。　　

例如对于类似“铁矿石含铁量为60％”、“盐水中含盐量为50％”等问题，由于学生对铁矿石的成份和盐水中的含盐量的概念不清楚，解题时只好凭自己的感觉列式解答，其错误率高就在所难免了。

又如：“水结冰后体积增加，现在有11立方米的水，结冰后体积是多少”。这道题也需要学生对冰这一自然物体的特性有所了解，知道水结冰后体积要膨胀的道理，并且知道膨胀率是多少。

因此，在应用题教学中要帮助学生认识自然界的物体及其特征，认识习题中的条件和这些自然物体之间的关系：要重视各学科知识的相互联系，不断丰富、充实学生的自然科学知识，为他们正确解题打下良好的基础。

（三）关于语文知识

我们都知道，应用题解答必须完成两个转化过程。一是把实际问题转化为数学问题；二是把数量关系转化为数学表达式。要完成这两个转化，特别是要将实际问题转化为数学问题，才能正确加以解答。在此，学生的语文知识起着十分重要的作用。　　

据经验丰富的一线教师对平时试卷分析，占70％左右的学生都是由于看不懂相关词句的词性或词义造成题意认识不清而无从下手，勉强做题，导致出错。例如，在应用题中经常出现之、其、若、则、而、即等虚词和“相向、逆向、相对、对等、均分、等分”等词语。这些词语，大都用在某些条件的交代、转化或特定的要求中，起着题意的因果关系变化或某一条件的取向等，对帮助学生理解题意起着至关重要的作用。　

还有一些错误，是与学生的理解能力低或题目的逻辑顺序不清有关的。如有的应用题的条件不是依顺序出现的，有的最后出现的条件须先用，最先出现的条件要后用，或者把中间的条件先用等等。有些学生由于语文知识的不过关，抓不住顺序，所以不能正确解答。　　

由此可见，学生的语文基础对学生的解题影响极大。因此，在应用题教学中帮助学生扫除语文知识上的障碍，既要帮助学生牢固掌握已学的语文知识，又要依题需要而加以提示，引导学生掌握题内的一些词句基本概念。只有这样，才能提高学生解答应用题的水平。

（四）关于教学原因

在小学低年级段，教师在引导学生的思维进行双向联系的同时，若没有注意到双向联系的思维定势，会对应用题的解答产生一定的干扰作用。如，学生在学习分数应用题：“苍海渔业一队六月份捕鱼3000吨，比五月份多捕了，五月份捕鱼多少吨？”由于受两数“比差”的影响，认为六月份比五月份多捕了，就是五月份比六月份少捕了，而错误地列式为：3000×（1－）。

在教学中，要防止学生这方面思维上的“干扰”，一方面要引导学生认真审题，理解题意，从上下文的联系中全面分析、弄清数量关系。还可以精心设计习题进行对比教学。

又例如：1、幼儿园有20个皮球，又买来8个，现在有多少个？想：要求现在有多少个，就要把原有的和买来的“合起来”，即把“20和8合起来”，所以用加法计算。2、小红读一本书，每天读8页，5天读完，这本故事书有多少页？想：5天读了5个8页，求这本故事书有多少页，就是求“5个8是多少。”根据乘法的意义，列式为8×5。这些简单应用题，都是建立在学生对四则运算意义理解的基础上的，只有建立在这个基础上的教学才是抓住了根本。但是，不少教师往往教学生“扣字眼”、“套模式”，如见“多”就加，见“少”就减，见“倍”就乘，见“平均”就除等，虽然也能解对部分应用题，但使教学走入歧途，为以后的教学带来困难。

（五）关于小学生解答应用题的心理问题

应用题是图形、表格、语言、文字表达的实际问题。小学生解答应用题,就是要把实际计算问题先转化为纯数学问题,然后抽象成数学表达式,再进行计算。这就要求学生进行分析、综合、抽象、概括、判断、推理等一系列复杂的思维活动。但小学生的思维特点是以具体形象思维为主,逻辑思维能力还比较差,对于应用题中间接的、隐蔽的问题往往不容易理解,这样,学习上无疑会有一定的困难，而有的教师又不太了解学生的学习心理,教学方法不甚得法,教学效果也欠佳。下面从感知、想象、思维等心理活动方面来分析小学生解题产生错误的原因。

1、用感知与想象支持抽象思维活动的水平不高

由于应用题中的数量关系是蕴含在文字的叙述中，加上有的应用题中数量关系比较复杂或隐藏，这样就需要依靠再造想象，将应用题包含的信息转化成一定的直观形象。但是小学生的这种心理因素的水平是不高的，在分析数量关系的过程中，他们常常难以完成这种应用题与直观的转化，即难以通过再造想象将应用题所给出的各种信息及各信息间的关系用直观图形表示出来。还有的学生在审题时不能把应用题的情节、条件和问题当作一个整体来感知和思考，这样就不能掌握全部结构和数量关系，不能从应用题的情节中中分离出条件和问题，解题时就失去了依据和目标。

2、用联想、迁移和情感体验支持抽象思维活动的能力不强

由于数学本身具有系统性和实践性，所以利用联想、迁移和情感体验来支持分析数量关系的思维活动，也是解题时常有的心理因素。但是，小学生这种心理因素的能力是不够的、不成熟的。他们常常难以将已有的知识迁移到新的应用题中去。

3、思维品质方面的不足

（1）思维的片面性。有些学生解题时，不是在认真分析应用题中的数量关系后，再考虑列式计算，而是片面地将题中个别因素作为解题的依据。如以题中已知数的个数决定运算步数，错误认为，有二个已知数就是一步计算，有三个已知数要二步计算……，或者根据已知数出现的先后顺序决定运算的次序。

（2）思维的定势性。一线教师在教学中常常发现，有些学生在重复解答同一类型的应用题或解答一些思路和方法相同的应用题时，会墨守成规，套用原来的解题方法，造成解题错误。

（3）思维的机械性。有些学生的思维缺乏广阔性，他们的思维活动往往局限于具体的情节之中，以主观想象代替对题目本质特征的分析综合，从而导致错误。有的学生以一些片面的生活经验代替应用题中的数量关系。

（4）思维的盲目性。在解题过程中，思维的方向对于解题来说是至关重要的，而有的学生在解答数量关系比较复杂的应用题时，不能找出其中最主要的数量关系，即不能确定思维活动的方向。

（5）思维的单向性。小学生比较习惯于顺向思维，而可逆思维能力较差。因此在解答逆向结构的应用题时出现错误较多。例如，“甲有45本书，是乙的5倍多5本，乙有几本书？”学生在解答时，或者受“求一个数的几倍是多少”的解法的负迁移，列式为45×5＋5；或者受“几倍多几”的解法的负迁移，列式为45÷5－5。

因此在应用题教学中，需要我们十分重视培养学生良好的心理能力，尤其是良好的思维品质，不断提高他们的数学水平。

（六）关于想象力

有这样一道五年级测验题：有一个高为6.28分米的圆柱形油桶，它的侧面展开正好是一个正方形，这个油桶约能盛柴油多少千克？（每立方分米柴油重0.8千克，得数保留三位小数）。由于空间观念薄弱，学生想象不出油桶的底面周长应和它的高是相等的，因而有的学生不能得出正确的答案。

想象力，特别是空间想象力，对于解答空间几何问题有重要的帮助。想象力的培养则需要提高学生的知识面。

（七）关于畏难情绪

心理学研究表明，情感对人的认识活动具有调节功能。消极的、不愉快的情绪会降低人的智力活动效能，影响学习的效率。部分学生由于在解答应用题时经常发生差错，或是受到某方面消极的心理暗示，从而导致对应用题的学习缺乏兴趣，怀有畏惧感，并且随着应用题类型的增多、难度的加大，这种畏惧心理越加厉害，往往见到应用题就会产生恐惧、厌烦心理，丧失解题的信心，从而使思维活动被压抑，本来能做的题目也无法正确解答出来。因此，在应用题教学过程中，教师要注意根据实际情况帮助学生克服解答应用题时的心理障碍，培养他们学习应用题的兴趣。

三、克服非数学因素不良影响的对策

以上的因素分析和对策外，以下是对应用题教学的一点建议：在传统的教学下，应当加强针对生活经验、自然常识、语文知识、教学原因、小学生解答应用题的心理问题、想象力的问题以及畏难情绪等一系列影响应用题解答的非数学因素的教学。

加强学生课内和课外的结合，培养学生认真观察事物的习惯，就可以使学生在生活中更多的积累经验。对于有些经验问题，则可以通过给学生作出演示或提示或者让学生去探索、制作模型，让学生获得经验。譬如火车行驶过一座大桥的情景，可以简单的用一颗橡皮（火车）和一个铅笔盒（桥）来模拟。

通过培养学生的读题能力，减少语文知识方面的影响。因为读题是了解题目内容的第一步。教师要培养学生反复、仔细、边读边想的读题习惯。一年级教师要进行范读、领读。读题时要训练学生做到不添字、不漏字、不读错字、不读断句。二年级开始培养学生独立朗读、逐步过渡到轻声读、默读、养成自觉通过默读理解题意的习惯。

通过加强语言文字的处理能力，减少语文知识方面的影响。语言文字是应用题各种关系的纽带,也是解题的拦路虎。因此，教学要像语文教学一样，让学生理解应用题中每个字、词、句的意义，培养学生书面语言的阅读能力。首先，对应用题表述中的数学术语有一个正确的理解。如“倍数”应用题“倍”的含义、行程问题“相向而行”、“相背而行”的行走情景，学生对这些术语没有正确的理解，就无法理解题意，进而防碍数量关系的确立。其次，对应用题中揭示数量关系的关键句要反复推敲，理解它的真实含义，为正确解题铺平道路。还可以让学生用自己的话复述题意，促进学生进一步分析清楚应用题的情节，使题目内容转化为鲜明的表象，使学生真正进入角色。复述题意能准确地反映出学生对题意的理解程度。

教师在引导学生解应用题时，应有意识地穿插一题多解的内容，启发学生多向思维，学会寻找不同的解题门径，寻求多种解答方法。一题多解不仅能巩固学生所学知识，而且能拓宽解题思路，增强其思维的灵活性和独创性，开发智力潜能。

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